Fractal de
Newton
Por nuestra
parte, en esta simulación vamos a dedicar nuestra atención a fractales creados
o descubiertos por el hombre mediante ecuaciones conocidas.
Concretamente mostraremos un especial interés en el fractal de Newton y en cómo se construye.
El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.
Además es responsabilidad nuestra la elección de un buen test de parada, aunque dicho test podría basarse simplemente en el número de iteraciones realizadas (como es nuestro caso para los ejemplos).
Concretamente mostraremos un especial interés en el fractal de Newton y en cómo se construye.
El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.
Además es responsabilidad nuestra la elección de un buen test de parada, aunque dicho test podría basarse simplemente en el número de iteraciones realizadas (como es nuestro caso para los ejemplos).
Partiendo de
este método, y dado que es capaz de aproximarse tanto a soluciones reales como
a complejas, podríamos ingeniárnoslas para que dada una función se coloreasen
de forma distinta las soluciones a las que el algoritmo va convergiendo. En
pocas palabras: seleccionamos una región del plano complejo y vamos
ejecutando el método de Newton, para una función F dada, en un punto elegido de
la región.Dependiendo de a qué solución converga el método pintamos ese punto
de un color u otro.
¡ Esta es la manera en la que se han pintado los
fractales de Newton de las distintas simulaciones !
Como podemos
comprobar, en este caso, han surgido fractales a partir de un método de
aproximación de raíces de funciones y un poco de imaginación.
Para los ejemplos que se verán en las simulaciones se han dibujado los fractales basados en las siguientes funciones:
Para los ejemplos que se verán en las simulaciones se han dibujado los fractales basados en las siguientes funciones:
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Fractal de Newton para la función x^3-1
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Fractal de Newton para la función x^5-1
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