DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
La
distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene
dada por la expresión siguiente:
B(x;n,p)=
(n/x) px (1-p) n-x
x= Número
de éxitos (x= 0,1,2,3…)
p=
Probabilidad de éxito
1-p=
Probabilidad de fracaso
n= Total
de la muestra o número de ensayos.
CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
Una
distribución se denomina binomial cuando se cumple las condiciones siguientes:
·
El experimento aleatorio de
base se repite n veces en todos los resultados obtenidos son mutuamente
independientes.
·
En cada prueba se tiene una
misma probabilidad de éxito, expresado por “p”, así mismo, existe en cada
prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual a “1-p”
·
El objetivo de la Distribución
Binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de
éxitos.
La
variable aleatoria “x” que indica el número de veces que aparece denominado A
(éxito, es discreta, y su recorrido es el conjunto de {1,2,3,…n}
Los
ejercicios los resolveremos por tablas estadísticas y posteriormente con la
hoja de cálculo Excel de Microsofe Office.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Ejercicio:
Sea x un número de preguntas contestadas correctamente en el test (examen) de
un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar:
a) 5 preguntas correctamente
b) 1 o más preguntas correctamente
c) 5 o más preguntas correctamente
d) Entre 3 y 6 preguntas
correctamente
SOLUCIÓN:
n= 10
p= nPb
(éxito) = P (pregunta contestada correctamente)= 0.5… “P” permanece constante
Asumiendo
independientemente las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X∞b
(10,0.5) Entonces:
a) P(x-5)=b(A=5*n=10 P=0.5)
b) P=(x̂ ̂̂̂≤ 1)=1-P(X
25)=1-P(X≤1)=1-P(x=0)=1-b=0 n=10 P=0.5)
c) P=(x=25)=1-P(x25)=1-P(x≤4)=1-b(x≤4)
n=10 P=0.5)
Solución
usando Excel
a) Distri.Binom.N
(5,10,0.50,FALSO)= 0.2461
b) 1- Distri.Binom.N (0,10,50,
FALSO)= 0.010 = 0.9990.
c) 1- Distri.Binom.N (4,10,0.50,
VERDADERO)= 1-0 37770= 0.6230
VERDADERO
o FALSO la Distribución Binomial solo calcula el valor puntuación de “X”.
Por
ejemplo si estamos interesados en encargado de la probabilidad binomial de
“nNn-3” , en el que de los cuales X=2 son éxitos con una probabilidad de
éxito de “P” =0.4
*
Distri.Binom.-N (2,3,0,40, FALSO)= 0.0065
Puede ver
que el mismo resultado que se obtiene con las mismas tablas no obstante en
algunos casos habrá pequeñas diferencias dada que las tablas contienen solo
valores de probabilidad del cuadro decimal (es decir diez milésimas y en Excel
puede pedirle que le muestre los decimales que quieras)
·
Puede apreciarse en la primera
columna aparece el titulo “n” en la segunda columna los valores de “x” por cada
“n” y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de “p”
·
Por ejemplo si estamos
interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n” igual a 3n=3 ensayos
de las cuales “x” es igual a 2x=2 son éxitos con una probabilidad de acierto de
“p” = 0.40
FORMULA
=
Distri.Binom.N (numero, éxito, ensayos proba, éxito acumulado)
·
Se ubica una celda vacía y se
escribe = Distri.Binom.N
·
Es software te mostrara las
distribuciones existentes mientras usted está escribiendo, puede ver que entre
paréntesis aparecen cuatro parámetros.
·
Num-exitos
·
Aquí puede escribir el numero
de éxitos que desea obtener.
ENSAYOS:
Es el tamaño de la muestra “n”
OTRO
ÉXITO: Probabilidad “p” de éxito
a) ACUMULADOS: a) Distri.Binom
(6,10,0,50,VERDADERO) - Distri.Binom.-N
(2,10,0,50,VERDADERO)=0.821-0.0547=0.7734
EJEMPLO:
Un
ingeniero en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica
inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los
alternadores del lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la
muestra:
a) Ninguno este defectuoso
b) Uno salga defectuoso
c) Al menos dos salgan defectuosos
d) Más de tres con defectos
e) No más de 3 estén con defecto
SOLUCION
UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES:
a) P(x=0)=b(x=0; n=10;
p=0.2)=0.1074
b) P(x=1)=b(x=1; n=10 :
p=0.2)=0.2684
c) P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2; n=10;
p=0.2)=0.642
d) P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-p(x≤2; n=10:
p=0.2)=0.642
e) P(x≤)=b(x≤3; n=10;
p=0.2)=0.8791
SOLUCION USANDO EXCEL
a) Distri.Binom.N
(0,10,0.2,FALSO)=0.1734~17%
b) Distri.Binom.N (1,10,0.2,FALSO)=0.2684~26%
C)
1- Distri.Binom.N
(1,10,0.20,VERDADERO)=0.642~62%
d) 1- Distri.Binom.N
(2,10,0.2,VERDADERO)=0.322~32%
e) Distri.Binom.N
(3,10,0.2,VERDADERO)=0.8791~87%
La
probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin fallar es de 0.90
calcular la probabilidad de que una muestra de 15:
a) 12 duren al menos un año
b) A lo más 5 duren al menos un
año
c) Al menos 2 duren al menos un
año
SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES
a) B (3; n=15: 0.10)- B (2; n=15;
p=0.10)=b(x=3; n=15; 0.10)=0.1205
b) 1-B(9; n=15;
0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.1285+0.0428+0.0105+0.00019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0
c) B(15-2-1)(15,0.10)=1
SOLUCION UTILIZANDO EXCEL
a) B(x=12; n=15; p=0.9)= Distri.Binom.N
(12;15;0.90;FALSO)=0.1285
b) B(x ≤5; n=15; p=0.90)=
Distri.Binom.N (12;15;0.90;VERDADERO)=0.00000002
f) 1-B(X≤1; n=15; p=0.90)=1-
Distri.Binom.N (1;15;0.90;VERDADERO)=0.0001
