FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene dada por la expresión siguiente:

B(x;n,p)= (n/x) px (1-p) n-x

x= Número de éxitos (x= 0,1,2,3…)

p= Probabilidad de éxito

1-p= Probabilidad de fracaso

n= Total de la muestra o número de ensayos.

 

CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución se denomina binomial cuando se cumple las condiciones siguientes:

·        El experimento aleatorio de base se repite n veces en todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

·        En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresado por “p”, así mismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual a “1-p”

·        El objetivo de la Distribución Binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos.

La variable aleatoria “x” que indica el número de veces que aparece denominado A (éxito, es discreta, y su recorrido es el conjunto de {1,2,3,…n}

Los ejercicios los resolveremos por tablas estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo Excel de Microsofe Office.

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Ejercicio: Sea x un número de preguntas contestadas correctamente en el test (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar:

a)     5 preguntas correctamente

b)    1 o más preguntas correctamente

c)     5 o más preguntas correctamente

d)    Entre 3 y 6 preguntas correctamente

SOLUCIÓN:

n= 10

p= nPb (éxito) = P (pregunta contestada correctamente)= 0.5… “P” permanece constante

Asumiendo independientemente las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X∞b (10,0.5) Entonces:

a)    P(x-5)=b(A=5*n=10 P=0.5)

b)    P=(x̂ ̂̂̂≤ 1)=1-P(X 25)=1-P(X≤1)=1-P(x=0)=1-b=0 n=10 P=0.5)

c)     P=(x=25)=1-P(x25)=1-P(x≤4)=1-b(x≤4) n=10  P=0.5)

Solución usando Excel

a)    Distri.Binom.N (5,10,0.50,FALSO)= 0.2461

b)    1- Distri.Binom.N (0,10,50, FALSO)= 0.010 = 0.9990.

c)     1- Distri.Binom.N (4,10,0.50, VERDADERO)= 1-0 37770= 0.6230

VERDADERO o FALSO la Distribución Binomial solo calcula el valor puntuación de “X”.

Por ejemplo si estamos interesados en encargado de la probabilidad binomial de “nNn-3” , en el que de los cuales X=2 son éxitos con una probabilidad de éxito  de “P” =0.4

* Distri.Binom.-N (2,3,0,40, FALSO)= 0.0065

Puede ver que el mismo resultado que se obtiene con las mismas tablas no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dada que las tablas contienen solo valores de probabilidad del cuadro decimal (es decir diez milésimas y en Excel puede pedirle que le muestre los decimales que quieras)

·        Puede apreciarse en la primera columna aparece el titulo “n” en la segunda columna los valores de “x” por cada “n” y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de “p”

·        Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n” igual a 3n=3 ensayos de las cuales “x” es igual a 2x=2 son éxitos con una probabilidad de acierto de “p” = 0.40

FORMULA

= Distri.Binom.N (numero, éxito, ensayos proba, éxito acumulado)

·        Se ubica una celda vacía y se escribe = Distri.Binom.N

·        Es software te mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo, puede ver que entre paréntesis aparecen cuatro parámetros.

·        Num-exitos

·        Aquí puede escribir el numero de éxitos que desea obtener.

ENSAYOS: Es el tamaño de la muestra “n”

OTRO ÉXITO: Probabilidad “p” de éxito

a)    ACUMULADOS: a) Distri.Binom (6,10,0,50,VERDADERO) - Distri.Binom.-N (2,10,0,50,VERDADERO)=0.821-0.0547=0.7734

EJEMPLO:

Un ingeniero en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

a)    Ninguno este defectuoso

b)    Uno salga defectuoso

c)     Al menos dos salgan defectuosos

d)    Más de tres con defectos

e)    No más de 3 estén con defecto

  SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES:

a)    P(x=0)=b(x=0; n=10; p=0.2)=0.1074

b)    P(x=1)=b(x=1; n=10 : p=0.2)=0.2684

c)     P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2; n=10; p=0.2)=0.642

d)    P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-p(x≤2; n=10: p=0.2)=0.642

e)    P(x≤)=b(x≤3; n=10; p=0.2)=0.8791

 

SOLUCION USANDO EXCEL

a)    Distri.Binom.N (0,10,0.2,FALSO)=0.1734~17%

b)    Distri.Binom.N (1,10,0.2,FALSO)=0.2684~26%

C)                       1- Distri.Binom.N (1,10,0.20,VERDADERO)=0.642~62%

d)    1- Distri.Binom.N (2,10,0.2,VERDADERO)=0.322~32%

e)    Distri.Binom.N (3,10,0.2,VERDADERO)=0.8791~87%

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin fallar es de 0.90 calcular la probabilidad de que una muestra de 15:

a)    12 duren al menos un año

b)    A lo más 5 duren al menos un año

c)     Al menos 2 duren al menos un año

SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES

a)    B (3; n=15: 0.10)- B (2; n=15; p=0.10)=b(x=3; n=15; 0.10)=0.1205

b)    1-B(9; n=15; 0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.1285+0.0428+0.0105+0.00019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0

c)     B(15-2-1)(15,0.10)=1

SOLUCION UTILIZANDO EXCEL

a)    B(x=12; n=15; p=0.9)= Distri.Binom.N (12;15;0.90;FALSO)=0.1285

b)    B(x ≤5; n=15; p=0.90)= Distri.Binom.N (12;15;0.90;VERDADERO)=0.00000002

f)      1-B(X≤1; n=15; p=0.90)=1- Distri.Binom.N (1;15;0.90;VERDADERO)=0.0001