DISTRIBUCION DE POISSON

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modernización de situaciones en las que nos interesa determinar el numero de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o área, bajo supuestos  de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas.

Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de sus procesos bicotomicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de tener un éxito es muy pequeña.
Esta distribución se puede hacer derivada de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características:
* En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por tiempo, tiempo de área, espacio, pieza.
* Tiene > 20 y p<0 .05="" n="" si="">100, la  aproximación a Poisson es generalmente excelente a condición de que n es menor o igual que 10

La función de distribución esta dada por:
p(x;|)
Las tablas de Poisson tiene una estructura de la tabla siguinte:

x	= 5.5	=6.0	=6.5	=7.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0.0041 0.0225 0.0618 0.1133 0.1558 0.1771 0.1571 0.1234 0.0849	0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033	0.0015 0.0098 0.0318 0.0688 0.1118 0.1454 0.1575 0.1462 0.1182	0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.1490 0.1490 0.1304

Usando excel la función Poisson se debe ubicar en una celda vacia y escribir =Poisson.DIST

El software demostrará las distribuciones existentes mientras está escribiendo. Puede observar que entre paréntesis aparecen 3 parámetros.

EJEMPLO

Una empresa eléctrica observa el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el promedio de estos fallos es 8;

1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

2.¿De qué fallen no más de 2 componentes en 50 horas?

3.¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

SOLUCIÓN

Usando las tablas estadísticas de Poisson sea la variable aleatoria "x", con una distribución de Poisson con parámetro LAMDA=[x=8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1.Considerando que se cumplen ciertas condiciones de irregularidad podemos asumir que una variable "z" que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro LAMDAz=2 por lo tanto la probabilidad deseada es p(z)=1 LAMDA=2)=

2.Análogamente definimos una variable aleatoria U con distribución Poisson de parámetro =4 que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento:

P(Us2) LAMDA=4)= 0.0183+0.07334+0.7465=0.2384

3. De la misma forma definiendo una variable aleatoria Uv con una distribución Poisson de parámetro LAMDA v= 10 Se obtiene:

P(v=10; LAMDA)= 1-P (V<10 0.5420="" 1-="" font="" lamda="10)">

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

1. (z=1;  LAMDA=2)=POISSON.OIST(1,2,FALSO)= 0.2707

2. P(Us2; LAMDA=4);POISSON.OIST(2,4VERDADERO)=0.2381

3. P(V>_10; LAMDA=10) 1-P(V<10 font="">

Un ingeniero elabora en un departamento de Control de Calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. El 20% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra:

a) Ninguno esté defectuoso

b) Uno salga defectuoso

c) Al menos 2 salgan defectuosos

d) Más de 3 salgan defectuosos

e) No más de 3 estén defectuosos

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES

a) p(x=0) b=(x=0; n=10, p=0.2)=0.1074

b) p(x=1) b=(x=1 n=10, p=0.2)=0.2684

c) p(x>_2)1-p(x<_1 n="10,p=0.2)=1-(0.1074+0.2684)=0.6242</font" x="">

d) p(x>_3)=1-P(x<_2 font="" n="10,p=0.2)=1-" x="">

e) p(xz_3)=B(x<_3 0.1074="" font="" n="10," nbsp="" p="0.2)=">

SOLUCIÓN CON EXCEL:

a) DISTR.BINOM.N(0,10,0.20,FALSO)=0.1734

b) DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,FALSO)=0.2684

c) 1-DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,VERDADERO)=0.6242

d) 1-DISTR.BINOM.N(2,10,0.20,VERDADERO)=0.3222

e) DISTR.BINOM.N(3,10,0.20,VERDADERO)=0.8791

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro.

a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en 1 milímetro de alambre.

b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre.

c) Determine la probabilidad de al menos 1 imperfección en mm de alambre.

SOLUCIÓN USANDO LAS TABLAS ESTADÍSTICAS DE POISSON:

a) P(x=2; LAMDA =2.4)=0.2673
b) sea x el número de imperfecciones en 5 mm de alambre entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA =5 mm por 2.4 imperfecciones.
c) Sea x el número de imperfecciones en 2 mm de alambre  entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA= 2 (2.4) imperfecciones = 4.8
Entonces p(x>_1;LAMDA=4.8)=1-p(x<1 lamda="4.8=0.4458<br">
SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) p(x=2) LAMDA=2.4)POISSON.DIST(2,2.4,FALSO)=0.2673
b) p(x=10; LAMDA=120)=POISSON.DITR(10,12,FALSO)=0.1048
c) p(x>_1; LAMDA=4.8)=1-POISSON.DISTR(0,4,8,VERDADERO)=0.9918

CONTAMINACIÓN

La contaminación constituye un problema en fabricación de discos  de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurren en un disco optico tienen una distribución Poisson y el número promedio de partículas por cm2 de superficie del disco es 0.1. El área de un disco es de 100 cm2.
a) Encuentren la probabilidad de que ocurra 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurra 0 partículas en el área del disco en estudio.
c) Determinen la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco de estudio.

SOLUCIÓN:
LAMDA= 100 cm2 (0.7) partículas (cm2=10 partículas)
Usando las tablas estadísticas de Poisson:
a) P(x=12, =10)=0.948
b) P(x=0, 10)=0.0
c) P(x<_12 0.7946="" 10="" br="">
SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) P(X=12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,FALSO)=0.0948
b) P(x=0;  10)=POISSON.DISTR(0,10,FALSO)=0.000045
c) P(x>_12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,VERDADERO)= 0.7916

DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION POISSON

 

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o área, bajo supuestos  de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas.
Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de sus procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de tener un éxito es muy pequeña.
Esta distribución se puede hacer derivada de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características:

* En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por tiempo, tiempo de área, espacio, pieza.
* Tiene > 20 y p<0 .05="" n="" si="">100, la  aproximación a Poisson es generalmente excelente a condición de que n es menor o igual que 10

La función de distribución está dada por:  p(x;|)
Las tablas de Poisson tienen una estructura de la tabla siguiente:

x	= 5.5	=6.0	=6.5	=7.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0.0041 0.0225 0.0618 0.1133 0.1558 0.1771 0.1571 0.1234 0.0849	0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033	0.0015 0.0098 0.0318 0.0688 0.1118 0.1454 0.1575 0.1462 0.1182	0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.1490 0.1490 0.1304

 

Usando excel la función Poisson se debe ubicar en una celda vacía y escribir = Poisson.DIST

El software demostrará las distribuciones existentes mientras está escribiendo. Puede observar que entre paréntesis aparecen 3 parámetros.

 

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene dada por la expresión siguiente:

B(x;n,p)= (n/x) px (1-p) n-x

x= Número de éxitos (x= 0,1,2,3…)

p= Probabilidad de éxito

1-p= Probabilidad de fracaso

n= Total de la muestra o número de ensayos.

 

CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución se denomina binomial cuando se cumple las condiciones siguientes:

·        El experimento aleatorio de base se repite n veces en todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

·        En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresado por “p”, así mismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual a “1-p”

·        El objetivo de la Distribución Binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos.

La variable aleatoria “x” que indica el número de veces que aparece denominado A (éxito, es discreta, y su recorrido es el conjunto de {1,2,3,…n}

Los ejercicios los resolveremos por tablas estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo Excel de Microsofe Office.

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Ejercicio: Sea x un número de preguntas contestadas correctamente en el test (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar:

a)     5 preguntas correctamente

b)    1 o más preguntas correctamente

c)     5 o más preguntas correctamente

d)    Entre 3 y 6 preguntas correctamente

SOLUCIÓN:

n= 10

p= nPb (éxito) = P (pregunta contestada correctamente)= 0.5… “P” permanece constante

Asumiendo independientemente las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X∞b (10,0.5) Entonces:

a)    P(x-5)=b(A=5*n=10 P=0.5)

b)    P=(x̂ ̂̂̂≤ 1)=1-P(X 25)=1-P(X≤1)=1-P(x=0)=1-b=0 n=10 P=0.5)

c)     P=(x=25)=1-P(x25)=1-P(x≤4)=1-b(x≤4) n=10  P=0.5)

Solución usando Excel

a)    Distri.Binom.N (5,10,0.50,FALSO)= 0.2461

b)    1- Distri.Binom.N (0,10,50, FALSO)= 0.010 = 0.9990.

c)     1- Distri.Binom.N (4,10,0.50, VERDADERO)= 1-0 37770= 0.6230

VERDADERO o FALSO la Distribución Binomial solo calcula el valor puntuación de “X”.

Por ejemplo si estamos interesados en encargado de la probabilidad binomial de “nNn-3” , en el que de los cuales X=2 son éxitos con una probabilidad de éxito  de “P” =0.4

* Distri.Binom.-N (2,3,0,40, FALSO)= 0.0065

Puede ver que el mismo resultado que se obtiene con las mismas tablas no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dada que las tablas contienen solo valores de probabilidad del cuadro decimal (es decir diez milésimas y en Excel puede pedirle que le muestre los decimales que quieras)

·        Puede apreciarse en la primera columna aparece el titulo “n” en la segunda columna los valores de “x” por cada “n” y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de “p”

·        Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n” igual a 3n=3 ensayos de las cuales “x” es igual a 2x=2 son éxitos con una probabilidad de acierto de “p” = 0.40

FORMULA

= Distri.Binom.N (numero, éxito, ensayos proba, éxito acumulado)

·        Se ubica una celda vacía y se escribe = Distri.Binom.N

·        Es software te mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo, puede ver que entre paréntesis aparecen cuatro parámetros.

·        Num-exitos

·        Aquí puede escribir el numero de éxitos que desea obtener.

ENSAYOS: Es el tamaño de la muestra “n”

OTRO ÉXITO: Probabilidad “p” de éxito

a)    ACUMULADOS: a) Distri.Binom (6,10,0,50,VERDADERO) - Distri.Binom.-N (2,10,0,50,VERDADERO)=0.821-0.0547=0.7734

EJEMPLO:

Un ingeniero en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

a)    Ninguno este defectuoso

b)    Uno salga defectuoso

c)     Al menos dos salgan defectuosos

d)    Más de tres con defectos

e)    No más de 3 estén con defecto

  SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES:

a)    P(x=0)=b(x=0; n=10; p=0.2)=0.1074

b)    P(x=1)=b(x=1; n=10 : p=0.2)=0.2684

c)     P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2; n=10; p=0.2)=0.642

d)    P(x≥3)=1-p(x≤2)=1-p(x≤2; n=10: p=0.2)=0.642

e)    P(x≤)=b(x≤3; n=10; p=0.2)=0.8791

 

SOLUCION USANDO EXCEL

a)    Distri.Binom.N (0,10,0.2,FALSO)=0.1734~17%

b)    Distri.Binom.N (1,10,0.2,FALSO)=0.2684~26%

C)                       1- Distri.Binom.N (1,10,0.20,VERDADERO)=0.642~62%

d)    1- Distri.Binom.N (2,10,0.2,VERDADERO)=0.322~32%

e)    Distri.Binom.N (3,10,0.2,VERDADERO)=0.8791~87%

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin fallar es de 0.90 calcular la probabilidad de que una muestra de 15:

a)    12 duren al menos un año

b)    A lo más 5 duren al menos un año

c)     Al menos 2 duren al menos un año

SOLUCION UTILIZANDO TABLAS BINOMIALES

a)    B (3; n=15: 0.10)- B (2; n=15; p=0.10)=b(x=3; n=15; 0.10)=0.1205

b)    1-B(9; n=15; 0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.1285+0.0428+0.0105+0.00019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0

c)     B(15-2-1)(15,0.10)=1

SOLUCION UTILIZANDO EXCEL

a)    B(x=12; n=15; p=0.9)= Distri.Binom.N (12;15;0.90;FALSO)=0.1285

b)    B(x ≤5; n=15; p=0.90)= Distri.Binom.N (12;15;0.90;VERDADERO)=0.00000002

f)      1-B(X≤1; n=15; p=0.90)=1- Distri.Binom.N (1;15;0.90;VERDADERO)=0.0001